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ペンギンのメモ

ペンギンについて気になることや気づいたこと、わからないことやわかったことをメモるとは限りません(・8・)

三角比に連立方程式から入る

高校数学では三角比を
0<θ<90
0≦θ≦180
θは任意の実数
の順に拡張していく。




ところで、負角とかもろもろ知ってる前提の導入として
次はどうだろう。(いわゆる天下り的)



mを実数とする。
以下の連立方程式(*)を解こう。
x^2+y^2=1
y=mx



是非紙とペンで
実際に計算してみて欲しい。
(答えは下!)











計算すると復号同順で
x=±1/√(1+m^2)
y=±m/√(1+m^2)
の二組が解となることがわかる


そのうちの一組に注目して、
三角比を次のように導入する。



-90<θ<90なる実数θをとる。
x軸が直線y=mxとなす角がθとなるような実数mがただ1つ存在する。

tanθ=mと定義する。さらに、
cosθ=1/√(1+m^2)
sinθ=m/√(1+m^2)と定義する。
以下略


これの良いところは、
タンジェントが-90度から90度の間で実数と一対一に対応すること
をうまく使えてること。
●おおらかに見れば「角度=傾き」が感覚的に伝わる
●傾きは比例の関数で出てくるし、
タンジェントってのはその比例定数なんだなって感じで入れる。


連立方程式好きな人におすすめ(?)な導入


さらに相互関係の公式が、
連立方程式を満たすから」で済むのも魅力。

直角三角形なんてなかった( ゚⊿゚)





注目したい値を【ある方程式の解として捉える】と分かりやすい(気がする)。

「2つのデータa,bの平均」を「方程式2x=a+bの解」として見たり、
「運動し始めてx秒後F(x)m進む物体の、a秒後からb秒後までの平均の速さ」を「方程式(b-a)x=F(b)-F(a)の解」として見たり、
√2を「方程式x^2=2における正の解」と見ることもそうだ。


今回で言えば、
タンジェント連立方程式(*)のパラメーターmであり、
コサイン、サインは連立方程式(*)の解の内、x座標正となる組である
と捉えることができる。



ちなみにxとyをそれぞれ
1/x,1/yに置き換えたものを考えてみよう。
(注意:以下計算ミスあるかもです!)

mを実数とする。
以下の連立方程式(*)を解こう。
(1/x)^2+(1/y)^2=1
1/y=m/x

次を解くと言っても同じことである。
x^2+y^2=x^2y^2
x=my

さらに次を解くと言っても同じことである。
y=-x/(1±√3x) 二つの直交双曲線
y=(1/m)x

同様に考えて
タンジェントcotθ=1/m
セカントsecθ=√(1+m^2)
コセカントcscθ=√(1+m^2)/m
と定まるとできる