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ペンギンのメモ

ペンギンについて気になることや気づいたこと、わからないことやわかったことをメモるとは限りません(・8・)

凸関数の接線と不等式

微分 不等式

f(x)が(下に)凸関数(二回微分可能、二回微分正)なら

任意の正の実数x,aについて、f(x)≧f'(a)(x-a)+f(a)

(右辺はx=aにおける接線を表す一次関数)

これはグラフを実際に書いてみるとよくわかる。

 

x^2≧2a(x-a)+a^2は簡単な例。

微分を使わなくてもたどり着けるのも魅力。

0≦(x-a)^2=x^2-2a(x-a)-a^2

これより、x^2≧2a(x-a)+a^2

 

例題

任意の正の実数x,yについて、 x(logx-logy)≧x-yであり

等号成立はx=yに限ることを示せ。(金沢大)

 

xをaに,yをxに取り替えると logx≦(1/a)(x-a)+loga と変形できる。

logxは上に凸なのでOK。 等号成立も図からわかる。

大問ひとつわかった気になれる。

 

しかし、図を根拠に解答は作れないので、 結局普通に不等式を示すことになる。

あくまで幾何的イメージであるが、即座に腑に落とすことはできる。

 

次のことから不等式を証明できる。

二階導関数が負(上に凸) ⇒一階導関数が単調減少 より、平均値の定理と相性がよい。 具体的にはx<c<y⇒f'(x)>f'(c)>f'(y)

 

e^πと22どっちが大きい?

e^xが下に凸なので 任意の実数x,aについて以下の不等式が成り立つ

e^x≧e^a(x-a)+e^a

特にx=π、a=3とすれば、 e^π>2.7^3(3.14-3+1)=22.43862

特にx=e、a=3とすれば、 e^e>2.7^3(2.7-3+1)=13.7781

ちなみに、e^3<(2.8)^3 なので

e^3<21.952<e^π

 

 

接線の方程式を教えるなら

元の関数と接線の一次関数との不等式に、個人的には触れてみたい気がする。