ペンギンのメモ

ペンギンについて気になることや気づいたこと、わからないことやわかったことをメモるとは限りません(・8・)

なにげに綺麗なsineの恒等式

例題 sinx+siny=7/5 sinx-siny=1/5 とする。 このときsin(x+y)*sin(x-y)を求めてみよう。 是非計算してみてください。 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ (sinx)^2, (siny)^2を先に求めて、 加法定理でsin(x+y)sin(x-y)を(sinx)^2, (siny)^2の式で表して代入、 が現…

高校の積分=微分から面積を求める

※この記事は書きかけです 微分から面積求める(つまり高校数学)には、中間値の定理と平均値の定理を使うはず f '(x)=0⇒f '(x)≧0かつf '(x)≦0⇒f(x)は単調非減少かつ単調非増加⇒f(x)は定数関数の2個目の⇒で平均値の定理使う 「f '(x)>0⇒f(x)は単調増加関数」 当…

数列の収束で気になること

高校の数列の極限の問題で何気によく出てくる a_{2k+1}→α かつ a_{2k}→α ⇒a_{n}→α つまり「奇数部分列と偶数部分列か同じ値に収束すれば、 元の数列もその値に収束する」 これは極限の定義から示せるけど、はさみうちとかでいけるのかな? 暗黙の了解、感覚…

微分で遊ぶ

y=(sinx)^2+(cosx)^2を微分すると y'=2sinxcosx+2cosx(-sinx) =0 ゆえにy=(sinx)^2+(cosx)^2は定数関数 (sinx)^2+(cosx)^2 =(sin(π/4))^2+(cos(π/4))^2 =1

積分はかけ算の一般化

かけ算←→長方形の面積 ↓ ↓ 積分 ←→色々な図形の面積 積分は"一般化されたかけ算"と、 この意味で呼んでも良いと思う 等速直線運動する車の移動距離=速さ×時間 車の移動距離=速さ関数を(時間で)積分 みたいな

関数の不動点と数列の収束

※この記事は書きかけです。 例題 f(x)=log(x+√(x^2+4))が不動点pをただ一つ持つことを中間値の定理で示せ。 f(x)が(1/2)-縮小写像であることを平均値の定理で示せ。 a(n+1)=f(a(n)) (a(1)は任意実数) で定まる数列a(n)が不動点pに収束することを示せ。 (津田…

19の段は簡単

頭の体操に足し算しようと思ってたらふと見つけたことである。 aにaを9回足せば当然10aである。 a=1,2,…,9のとき、小学校で習う九九そのものである。 aが11以上でやると、意外によい計算練習になる。 10aになれば、無事計算できたのだとセルフ丸付けできる。…

正弦定理から気になること

任意の三角形について正弦定理からsinA/a=sinB/bが成り立つ。 ところで次が成り立つ三角形はそれぞれどんな三角形か? ・cosA/a=cosB/b ・tanA/a=tanB/b

和積の公式を幾何的に見る

三角関数の和積の公式って 複素平面の単位円上の二点α,βについてα+β=|α+β|*(α+β)/|α+β| …(*)で幾何的に見れる(実部、虚部で得られる) α=e^(Ai),β=e^(Bi)とすると、★|α+β|=2cos((A-B)/2) ↑α,βが張る菱形の対角線の長さ★(α+β)/|α+β|=e^(((A+B)/2)i) ↑単位円と…

三角比に連立方程式から入る

高校数学では三角比を 0 0≦θ≦180 θは任意の実数 の順に拡張していく。 ところで、負角とかもろもろ知ってる前提の導入として 次はどうだろう。(いわゆる天下り的) mを実数とする。 以下の連立方程式(*)を解こう。 x^2+y^2=1 y=mx 是非紙とペンで 実際に計算…

3つの定理を旅できる恒等式

①a,bの恒等式 ((a+b)/2)^2+((a-b)/2)^2 =(a^2+b^2)/2 中線定理ベクトルver. |(a+b)/2|^2+|(a-b)/2|^2=(|a|^2+|b|^2)/2 中線定理 - Wikipedia ※ちなみに ((a+b)/2)^2-((a-b)/2)^2 =ab ですが、これは偏極公式に関係しています。 Polarization identity - Wiki…

凸関数の接線と不等式

f(x)が(下に)凸関数(二回微分可能、二回微分正)なら 任意の正の実数x,aについて、f(x)≧f'(a)(x-a)+f(a) (右辺はx=aにおける接線を表す一次関数) これはグラフを実際に書いてみるとよくわかる。 x^2≧2a(x-a)+a^2は簡単な例。 微分を使わなくてもたどり着ける…

はじめに

読んでいただきありがとうございます。 このブログは基本的に 半ライスを頼むペンギン (@half_soy) | Twitterでのツイート+α をまとめていくスタイルのメモでいこうと思います。 自己満足で日本語、文章の書き方に雑な部分が多々ありますが、 よろしくおね…