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ペンギンのメモ

ペンギンについて気になることや気づいたこと、わからないことやわかったことをメモるとは限りません(・8・)

正弦定理から気になること

三角比・三角関数 図形

任意の三角形について正弦定理からsinA/a=sinB/bが成り立つ。

 

ところで次が成り立つ三角形はそれぞれどんな三角形か?

 

・cosA/a=cosB/b

・tanA/a=tanB/b

和積の公式を幾何的に見る

三角比・三角関数 複素数・複素数平面 ベクトル

三角関数の和積の公式って
複素平面の単位円上の二点α,βについて

α+β=|α+β|*(α+β)/|α+β| …(*)

で幾何的に見れる(実部、虚部で得られる)



α=e^(Ai),β=e^(Bi)とすると、

★|α+β|=2cos((A-B)/2)
↑α,βが張る菱形の対角線の長さ

★(α+β)/|α+β|=e^(((A+B)/2)i)
↑単位円と菱形の対角線(が生成する直線)との交点


(*)の実部と虚部で比較して、
cosA+cosB=2cos((A-B)/2)*cos((A+B)/2)
sinA+sinB=2cos((A-B)/2)*sin((A+B)/2)

βを-βに変えると残り2つの公式が出てくる

三角比に連立方程式から入る

三角比・三角関数 方程式・恒等式 図形

高校数学では三角比を
0<θ<90
0≦θ≦180
θは任意の実数
の順に拡張していく。




ところで、負角とかもろもろ知ってる前提の導入として
次はどうだろう。(いわゆる天下り的)



mを実数とする。
以下の連立方程式(*)を解こう。
x^2+y^2=1
y=mx



是非紙とペンで
実際に計算してみて欲しい。
(答えは下!)











計算すると復号同順で
x=±1/√(1+m^2)
y=±m/√(1+m^2)
の二組が解となることがわかる


そのうちの一組に注目して、
三角比を次のように導入する。



-90<θ<90なる実数θをとる。
x軸が直線y=mxとなす角がθとなるような実数mがただ1つ存在する。

tanθ=mと定義する。さらに、
cosθ=1/√(1+m^2)
sinθ=m/√(1+m^2)と定義する。
以下略


これの良いところは、
タンジェントが-90度から90度の間で実数と一対一に対応すること
をうまく使えてること。
●おおらかに見れば「角度=傾き」が感覚的に伝わる
●傾きは比例の関数で出てくるし、
タンジェントってのはその比例定数なんだなって感じで入れる。


連立方程式好きな人におすすめ(?)な導入


さらに相互関係の公式が、
連立方程式を満たすから」で済むのも魅力。

直角三角形なんてなかった( ゚⊿゚)





注目したい値を【ある方程式の解として捉える】と分かりやすい(気がする)。

「2つのデータa,bの平均」を「方程式2x=a+bの解」として見たり、
「運動し始めてx秒後F(x)m進む物体の、a秒後からb秒後までの平均の速さ」を「方程式(b-a)x=F(b)-F(a)の解」として見たり、
√2を「方程式x^2=2における正の解」と見ることもそうだ。


今回で言えば、
タンジェント連立方程式(*)のパラメーターmであり、
コサイン、サインは連立方程式(*)の解の内、x座標正となる組である
と捉えることができる。



ちなみにxとyをそれぞれ
1/x,1/yに置き換えたものを考えてみよう。
(注意:以下計算ミスあるかもです!)

mを実数とする。
以下の連立方程式(*)を解こう。
(1/x)^2+(1/y)^2=1
1/y=m/x

次を解くと言っても同じことである。
x^2+y^2=x^2y^2
x=my

さらに次を解くと言っても同じことである。
y=-x/(1±√3x) 二つの直交双曲線
y=(1/m)x

同様に考えて
タンジェントcotθ=1/m
セカントsecθ=√(1+m^2)
コセカントcscθ=√(1+m^2)/m
と定まるとできる

3つの定理を旅できる恒等式

方程式・恒等式 ベクトル 図形 統計 不等式

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①a,bの恒等式

((a+b)/2)^2+((a-b)/2)^2

=(a^2+b^2)/2

中線定理ベクトルver.

|(a+b)/2|^2+|(a-b)/2|^2
=(|a|^2+|b|^2)/2

中線定理 - Wikipedia

 

※ちなみに

((a+b)/2)^2-((a-b)/2)^2

=ab

ですが、これは偏極公式に関係しています。

Polarization identity - Wikipedia

|(a+b)/2|^2-|(a-b)/2|^2
=a・b

右辺は内積

 

 

②a,bの恒等式
((a-b)/2)^2
=(a^2+b^2)/2-((a+b)/2)^2

↑データa,bの分散と平均の関係
V(X)=E(X^2)-E(X)^2

 

③a,bの恒等式
((a-b)/2)^2
=(a^2+b^2)/2-((a+b)/2)^2

これよりイェンゼンの不等式の超特別な場合
0≦(a^2+b^2)/2-((a+b)/2)^2

 

3つの定理を旅できる。大袈裟だけど。
個人的に結構好きな恒等式

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凸関数の接線と不等式

微分 不等式

f(x)が(下に)凸関数(二回微分可能、二回微分正)なら

任意の正の実数x,aについて、f(x)≧f'(a)(x-a)+f(a)

(右辺はx=aにおける接線を表す一次関数)

これはグラフを実際に書いてみるとよくわかる。

 

x^2≧2a(x-a)+a^2は簡単な例。

微分を使わなくてもたどり着けるのも魅力。

0≦(x-a)^2=x^2-2a(x-a)-a^2

これより、x^2≧2a(x-a)+a^2

 

例題

任意の正の実数x,yについて、 x(logx-logy)≧x-yであり

等号成立はx=yに限ることを示せ。(金沢大)

 

xをaに,yをxに取り替えると logx≦(1/a)(x-a)+loga と変形できる。

logxは上に凸なのでOK。 等号成立も図からわかる。

大問ひとつわかった気になれる。

 

しかし、図を根拠に解答は作れないので、 結局普通に不等式を示すことになる。

あくまで幾何的イメージであるが、即座に腑に落とすことはできる。

 

次のことから不等式を証明できる。

二階導関数が負(上に凸) ⇒一階導関数が単調減少 より、平均値の定理と相性がよい。 具体的にはx<c<y⇒f'(x)>f'(c)>f'(y)

 

e^πと22どっちが大きい?

e^xが下に凸なので 任意の実数x,aについて以下の不等式が成り立つ

e^x≧e^a(x-a)+e^a

特にx=π、a=3とすれば、 e^π>2.7^3(3.14-3+1)=22.43862

特にx=e、a=3とすれば、 e^e>2.7^3(2.7-3+1)=13.7781

ちなみに、e^3<(2.8)^3 なので

e^3<21.952<e^π

 

 

接線の方程式を教えるなら

元の関数と接線の一次関数との不等式に、個人的には触れてみたい気がする。

 

はじめに

読んでいただきありがとうございます。

このブログは基本的に

半ライスを頼むペンギン (@half_soy) | Twitterでのツイート+α

をまとめていくスタイルのメモでいこうと思います。

自己満足で日本語、文章の書き方に雑な部分が多々ありますが、

よろしくおねがいします。

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