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ペンギンのメモ

ペンギンについて気になることや気づいたこと、わからないことやわかったことをメモるとは限りません(・8・)

なにげに綺麗なsineの恒等式

三角比・三角関数 方程式・恒等式

 

 例題

sinx+siny=7/5

sinx-siny=1/5 とする。

このときsin(x+y)*sin(x-y)を求めてみよう。

 

是非計算してみてください。

(sinx)^2, (siny)^2を先に求めて、

加法定理でsin(x+y)sin(x-y)を(sinx)^2, (siny)^2の式で表して代入、

が現実的だと思います。

実は7/5*1/5=7/25が答えです。

なぜでしょう?

 

 

 

実は次が成り立ちます。

(sinx+siny)(sinx-siny)=sin(x+y)sin(x-y)

 

以下に証明を付けましたので

まずはみなさんの手で

証明にチャレンジしてみてください

 

いくつかあるけど、和積の公式を使うと簡潔になる。

 

sinx+siny=2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)

sinx-siny=2sin((x-y)/2)cos((x+y)/2)

 

辺々かけて

 

(sinx+siny)(sinx-siny)

=2sin((x+y)/2)cos((x+y)/2) * 2sin((x-y)/2)cos((x-y)/2)

=sin(x+y)sin(x-y)   ■

 

マニアックな公式でした。

見た目綺麗ですよね。

(sinx+siny)(sinx-siny)=sin(x+y)sin(x-y)

高校の積分=微分から面積を求める

※この記事は書きかけです

 

微分から面積求める(つまり高校数学)には、
中間値の定理と平均値の定理を使うはず

 

f '(x)=0
f '(x)≧0かつf '(x)≦0
⇒f(x)は単調非減少かつ単調非増加
⇒f(x)は定数関数
の2個目の⇒で平均値の定理使う

 

「f '(x)>0⇒f(x)は単調増加関数」

当然のように使われる定理だけども

f'(x)>0という各点における情報から
f(x)が単調増加という各点間の情報が得られるのは
よくよく考えると明らかではない

数列の収束で気になること

高校の数列の極限の問題で何気によく出てくる

a_{2k+1}→α かつ a_{2k}→α

⇒a_{n}→α

 

つまり「奇数部分列と偶数部分列か同じ値に収束すれば、

元の数列もその値に収束する」

 

 

これは極限の定義から示せるけど、はさみうちとかでいけるのかな?

暗黙の了解、感覚でOKの部類かな?

微分で遊ぶ

微分 三角比・三角関数

y=(sinx)^2+(cosx)^2を微分すると

y'=2sinxcosx+2cosx(-sinx)

=0

 

ゆえにy=(sinx)^2+(cosx)^2は定数関数

 

(sinx)^2+(cosx)^2

=(sin(π/4))^2+(cos(π/4))^2

=1

積分はかけ算の一般化

積分 物理

かけ算←→長方形の面積

↓        ↓

積分 ←→色々な図形の面積

 

積分は"一般化されたかけ算"と、

この意味で呼んでも良いと思う

 

等速直線運動する車の移動距離=速さ×時間

車の移動距離=速さ関数を(時間で)積分

みたいな

関数の不動点と数列の収束

数列 微分

※この記事は書きかけです。

 

例題

f(x)=log(x+√(x^2+4))が不動点pをただ一つ持つことを中間値の定理で示せ。

f(x)が(1/2)-縮小写像であることを平均値の定理で示せ。

a(n+1)=f(a(n)) (a(1)は任意実数) で定まる数列a(n)が不動点pに収束することを示せ。

(津田塾大)

 

連続関数であることと中間値の定理で不動点の存在を示すことと、

縮小写像であることと距離の完備性で不動点の存在を示すこととは違うか。

19の段は簡単

整数 数列 方程式・恒等式

頭の体操に足し算しようと思ってたらふと見つけたことである。

 

aにaを9回足せば当然10aである。

a=1,2,…,9のとき、小学校で習う九九そのものである。

aが11以上でやると、意外によい計算練習になる。

10aになれば、無事計算できたのだとセルフ丸付けできる。

 

当然19に19を9回足せば190になる。

やってみよう。

 

19

38

57

76

95

114

133

152

171

190

 

よかった。190になった。

 

ここで眺めると、何か規則性が見えてこないだろうか。

 

 

そう。

十の位→奇数で2ずつ増加

一の位→自然数で1ずつ減少

 

文字で表してみよう。

 

 

 

19n=(2n-1)*10+(10-n)

n=1,2,…,9

 

これより、

九九表の19の段は暗記しやすいことがわかる。